El Paraiso de las Matemáticas
Diccionario ilustrado de matemáticas | ||||||||||||||||||||||||||
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Matemáticas es el estudio de patrones en las estructuras de entes abstractos y en las relaciones entre ellas. Algunos matemáticos se refieren a ella como la «Reina de las Ciencias».
Aunque la matemática
sea la supuesta «reina de las ciencias»,
ella misma no se considera una ciencia natural. Principalmente,
los matemáticos definen e investigan estructuras
y conceptos abstractos por razones puramente internas
a la matemática, debido a que tales estructuras
pueden proveer, por ejemplo, una generalización
elegante, o una útil herramienta para cálculos
frecuentes. Además, muchos matemáticos
estudian sus áreas de preferencia simplemente
por razones estéticas, viendo así la
matemática
como una forma de arte en vez de una ciencia práctica
o aplicada. Sin embargo, las estructuras
que los matemáticos
investigan frecuentemente sí tienen
su origen en las ciencias naturales, y
muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas,
particularmente en la
Física.
La matemática es un
arte, pero también una ciencia de estudio. Informalmente,
se puede decir que la matemática es el estudio
de los «números y símbolos».
Es decir, es la investigación de estructuras abstractas
definidas axiomáticamente utilizando la lógica
y la notación matemática. Es también
la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas.
Se trata de relaciones exactas que existen entre cantidades
y magnitudes, y de los métodos por los cuales,
de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas
son deducibles a partir de otras cantidades conocidas
o presupuestas. Otros puntos de vista pueden encontrarse
en la Filosofía matemática.
No es infrecuente encontrar
a quien describe la matemática como una simple
extensión de los lenguajes naturales humanos,
que utiliza una gramática y un vocabulario definidos
con extrema precisión, cuyo propósito es
la descripción y exploración de relaciones
conceptuales y físicas. Recientemente, sin embargo,
los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan
en una dirección diferente: los lenguajes naturales
(como el español y el francés) y los lenguajes
formales (como la matemática y los lenguajes de
programación) son estructuras que son de naturaleza
básicamente diferente.
CATEGORIAS
Se dice que la matemática abarca tres ámbitos:
-
Aritmética.
-
Geometría, incluyendo la Trigonometría y las Secciones cónicas.
-
Análisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra, la geometría analítica y el cálculo.
Cada una de estas categorías
se divide a su vez en pura o abstracta, en donde se consideran
las magnitudes o cantidades abstractamente, sin relación
a la materia; y en aplicada, la cual trata las magnitudes
como substancia de cuerpos materiales, y por consecuencia
se relaciona con consideraciones físicas.
HISTORIA
Históricamente,
la matemática surgió con el fin de hacer
los cálculos en el comercio, para medir la tierra
y para predecir los acontecimientos astronómicos.
Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta
forma con la subdivisión amplia de las matemáticas
en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.
El estudio de la estructura
comienza con los números, inicialmente los números
naturales y los números enteros.
Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio. El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría.
Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio. El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría.
La comprensión y descripción
del cambio en variables mensurables es el tema central
de las ciencias naturales, y el cálculo. Para
resolver problemas que se dirigen en forma natural a
relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, y
de las soluciones a estas ecuaciones, se estudian las
ecuaciones diferenciales.
Los números usados
para representar las cantidades continuas son los números
reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza
el concepto de función matemática. Los
conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton
y Leibniz, representan un papel clave en este estudio,
que se denomina Análisis.
Por razones matemáticas,
es conveniente para muchos fines introducir los números
complejos, lo que da lugar al análisis complejo.
El análisis funcional
consiste en estudiar problemas cuya incógnita
es una función, pensándola como un punto
de un espacio funcional abstracto.
Un campo importante en matemáticas
aplicadas es la probabilidad y la estadística,
que permiten la descripción, el análisis
y la predicción de fenómenos que tienen
variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias.El análisis numérico
investiga los métodos para realizar los cálculos
en computadoras
.
CRISIS
Las matemáticas han
pasado por tres crisis históricas importantes:
-
El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos, la existencia de los números irracionales que de alguna forma debilitó la filosofía de los pitagóricos.
-
Aparición del cálculo en el siglo XVII, con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales.
-
La tercera fue el hallazgo de las antinomias, como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX, que atacaban los mismos cimientos de la materia.INSTRUMENTOS MATEMATICOSAntiguosNuevosÁbaco
Ábaco de Napier
Regla de cálculo
Regla y compás
Cálculo mentalCalculadoras
Ordenadores
CONCEPTOS ERRADOSLo que cuenta como conocimiento en matemáticas se determina no mediante experimentación, sino mediante demostraciones. No son por lo tanto las matemáticas una rama de la física, la ciencia a la que históricamente se encuentra más emparentada, puesto que la física es una ciencia empírica. Por otro lado, la experimentación juega un papel importante en la formulación de conjeturas razonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas.Las matemáticas no son un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución.Matemáticas no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes en para los contadores, los avances en matématica abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros.